Calculo Diferencial e Integral - Piskunov [Tomo 1 y 2]

Destinado a quienes emprenden el estudio sistemático del curso de matemáticas superiores técnicas. Comprende un gran número de ejercicios resueltos y comentados para ilustrar el enunciado del material teórico y presentar ejemplos tipo de resolución de ejercicios.

El Cálculo Diferencial e Integral de N. Piskunov, 2 tomos, es un curso Universitario muy usado en diferentes países del Mundo por su didáctica y además por abarcar todos los temas habitualmente expuestos en 1º y 2º Año de Universidad.

El Tomo I:

Luego de una breve introducción sobre los números reales, variables y funciones, aborda los conceptos de límite y continuidad de una función para entrar de lleno a los conceptos de derivada y diferencial, al análisis de las funciones, incluido los teoremas sobre las funciones derivables y el estudio de la curvatura de las curvas.

Saliendo del esquema tradicional expone el estudio de las funciones de varias variables y sus aplicaciones a la geometría del espacio.

Los últimos tres capítulos son dedicados al Cálculo Integral. En ellos se desarrollan la integral indefinida y definida, así sus aplicaciones a la geometría y mecánica.

Cada capítulo está acompañado de números ejercicios y problemas, se indica la solución de ellos.

Tomo 2:

Parte con un amplia exposición de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias y sus numerosas aplicaciones. Acompañan a este capítulo sobre ecuaciones diferenciales 196 ejercicios, unos con indicación de su respuesta y otros con indicaciones para lograr su solución.

Continúa con el estudio de las Integrales Múltiples, Curvilíneas y de Superficie. En estos dos capítulos se desarrollan múltiples aplicaciones en 120 ejercicios y problemas, muchos de ellos con su solución.

Los ciento cuarenta y cuatro problemas que acompañan a los capítulos sobre Series, en general, y las Series de Fourier, en particular, permiten tener una base muy sólida para estudios más avanzados.

Termina, el libro, con dos capítulos interesantes, Ecuaciones a Derivadas Parciales aplicadas a la Física, Matemáticas y Cálculo Operacional. Si bien es cierto que ambas son introducciones ellos permiten, al lector, evaluar sus aplicaciones en Física, Mecánica, Electrotecnia, etc. y estudiar textos más especializados.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - PISKUNOV

Primer Volumen – Tabla de Contenidos

Capítulo I. NÚMERO. VARIABLE. FUNCIÓN

1. Números reales. Representación de números reales por los puntos del eje numérico
2. Valor absoluto de un número real
3. Magnitudes variables y constantes
4. Dominio de definición de una variable
5. Variable ordenada. Variables crecientes y decrecientes. Variable acotada
6. Función
7. Formas diversas de expresión de funciones
8. Funciones elementales principales. Funciones elementales
9. Funciones algebraicas

Capítulo II. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES

1. Límite de una variable. Variable infinitamente grande
2. Límite de una función
3. Función que tiende a infinito. Funciones acotadas
4. Infinitésimos y sus propiedades fundamentales
5. Teoremas fundamentales sobre límites
6. Límite de la función sen x /x cuando x = 0
7. El numero e
8. Logaritmos naturales
9. Continuidad de las funciones
10. Propiedades de las funciones continuas
11. Comparación de infinitésimos

Capítulo III. DERIVADA Y DIFERENCIAL

1. Velocidad del movimiento
2. Definición de la derivada
3. Interpretación geométrica de la derivada
4. Funciones derivables
5. Cálculo de la derivada de las funciones elementales. Derivada de la función y = X”, siendo n entero y positivo
6. Derivadas de las funciones y = sen x; y = cos x
7. Derivada de una constante, del producto de una constante por una función, de la suma del producto y cociente de dos funciones
8. Derivada de la función logarítmica
9. Derivada de una función compuesta
10. Derivadas de las funciones y = tg x, y = ctg x, y = In x
11. La función implícita y su derivada
12. Derivadas de la función potencial con exponente real cualquiera, de la función exponencial y de la función
exponencial compuesta
13. Función inversa y su derivación
14. Funciones trigonométricas y sus derivadas
15. Tabla de las principales fórmulas de derivación
16. Funciones dadas en forma paramétrica
17. Ecuaciones paramétricas de algunas curvas
18. Derivada de una función dada paramétricamente
19. Funciones hiperbólicas
20. Diferencial
21. Significado geométrico de la diferencial
22. Derivadas de diversos órdenes
23. Diferenciales de órdenes diversos
24. Derivadas de
diversos órdenes de las funciones implícitas y de las funciones definidas paramétricamente
25. Interpretación mecánica de la derivada segunda
26. Ecuaciones de la tangente y de la normal. Longitudes de la subtangente y de la subnormal
27. Significado geométrico de la derivada del radio vector respecto al ángulo polar

Capítulo IV. TEOREMAS SOBRE LAS FUNCIONES DERIVABLES

1. Teorema sobre las raíces de la derivada (teorema de Rolle)
2. Teorema de los incrementos finitos (teorema de Lagrange)
3. Teorema sobre el cociente de los incrementos de dos funciones (teorema de Cauchy)
4. Límite del cociente de dos infinitésimos (Cálculo del límite de indeterminaciones del tipo 0 /0)
5. Límite del cociente de dos magnitudes infinitamente grandes (Cálculo del límite de indeterminaciones de la forma Infinito/Infinito)
6. Fórmulas de Taylor
7. Desarrollo de las funciones ex sen x y cos x mediante la fórmula de Taylor

Capítulo V. ANÁLISIS DE LA VARIACIÓN DE LAS FUNCIONES

1. Generalidades
2. Crecimiento y decrecimiento de una función
3. Máximo y mínimo de las funciones
4. Análisis del máximo y mínimo de una función derivable mediante la primera derivada
5. Análisis del máximo y mínimo de una función mediante la segunda derivada
6. Valores máximo y mínimo de una función en un intervalo
7. Aplicaciones a la teoría de máximos y mínimos de las funciones
8. Análisis de los valores máximos y mínimos de una función mediante la fórmula de Taylor
9. Convexidad y concavidad de las curvas. Puntos de inflexión
10. Asíntotas
11. Esquema general del análisis de funciones y de la construcción de gráficas
12. Estudio de las curvas dadas en forma paramétrica

Capítulo VI. CURVATURA DE UNA CURVA

1. Longitud del arco y su derivada
2. Curvatura
3. Cálculo de la curvatura
4. Cálculo de la curvatura de una curva dada en forma paramétrica
5. Cálculo de la curvatura de una curva dada en coordenadas polares
6. Radio y círculo de curvatura. Centro de curvatura. Evoluta y evolvente
7. Propiedades de la evoluta
8. Cálculo aproximado de las raíces reales de una ecuación

Capítulo VII. NÚMEROS COMPLEJOS. POLINOMIOS

1. Números complejos. Generalidades
2. Operaciones fundamentales con números complejos
3. Elevación a una potencia y extracción de la raíz de un número complejo
4. Función exponencial de exponente complejo y sus propiedades
5. Fórmula de Euler. Forma exponencial de un número complejo
6. Descomposición de un polinomio en factores
7. Raíces múltiples de un polinomio
8. Descomposición en factores de un polinomio con raíces complejas
9. Interpolación. Fórmula de interpolación de Lagrange
10. Fórmula de interpolación de Newton
11. Derivación numérica
12. Aproximación de las funciones mediante polinomios. Teoría de Chébishev

Capítulo VIII. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1. Definición de las funciones de varias variables
2. Representación geométrica de una función de dos variables
3. Incremento parcial y total de la función
4. Continuidad de las funciones de varias variables
5. Derivadas parciales de la función de varias variables
6. Interpretación geométrica de las derivadas parciales de una función de dos variables
7. Incremento total y diferencial total
8. Aplicación de la diferencial total a cálculos aproximados
9. Aplicación de la diferencial a la evaluación del error en cálculos numéricos
10. Derivada de una función compuesta. Derivada total
11. Derivación de funciones implícitas
12. Derivadas parciales de órdenes superiores
13. Superficies y líneas de nivel
14. Derivadas según una dirección
15. Gradiente
16. Fórmula de Tavlor correspondiente a una función de dos variables
17. Máximos y mínimos de una función de varias variables
18. Máximos y mínimos de una función de varias variables relacicionadas mediante ecuaciones dadas (máximos y mínimos ligados)
19. Ajuste de una función a unos datos experimentales por el método de mínimos cuadrados

Capítulo IX. APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL A LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO

1. Ecuaciones de una curva en el espacio
2. Límite y derivada de una función vectorial de una variable independiente escalar. Ecuación de la tangente a una curva. Ecuación del plano normal
3. Reglas de derivación de los vectores (funciones vectoriales)
4. Derivadas primera y segunda de un vector respecto a la longitud del arco. Curvatura de la curva. Norma principal.
Velocidad y aceleración de un punto animado de un movimiento curvilíneo
5. Plano osculador. Binormal. Torsión
6. Plano tangente y normal a una superficie

Capítulo X. INTEGRAL INDEFINIDA

1. Función primitiva e integral indefinida
2. Tabla de integrales
3. Propiedades de la integral indefinida
4. Integración por cambio de variable o por sustitución
5. Integración de ciertas funciones que contienen un trinomio de segundo grado
6. Integración por partes
7. Funciones racionales. Fracciones racionales elementales y su integración
8. Descomposición de una fracción racional en fracciones simples
9. Integración de las fracciones racionales
10. Método de Ostrogradski
11. Integración de funciones irracionales
12. Integrales del tipo R (x, sqrt [ax{exp 2} + bx + c])dx
13. Integración de las integrales binomias
14. Integración de funciones trigonométricas
15. Integración de funciones irracionales mediante sustituciones trigonométricas
16. Funciones cuyas integrales no pueden expresarse mediante funciones elementales

Capítulo XI. INTEGRAL DEFINIDA

1. Planteamiento del problema. Sumas inferior y superior
2. Integral definida
3. Propiedades fundamentales de la integral definida
4. Cálculo de la integral definida. Fórmula de Newton-Leibniz
5. Cambio de variable en una integral definida
6. Integración por partes
7. Integrales impropias
8. Cálculo aproximado de las integrales definidas
9. Fórmula de Chébishev
10. Integrales dependientes de un parámetro
11. Integración de una función compleja de variable real

Capítulo XII. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1. Cálculo de áreas en coordenadas rectangulares
2. Área de un sector curvilíneo en coordenadas polares
3. Longitud de un arco de curva
4. Cálculo del volumen de un cuerpo en función de las áreas de secciones paralelas
5. Volumen de un cuerpo de revolución
6. Área de un cuerpo de revolución
7. Cálculo del trabajo mediante la integral definida
8. Coordenadas del centro de gravedad
9. Cálculo de momentos de inercia mediante la integral definida

Segundo Volumen – Tabla de Contenidos

Capítulo XIII. ECUACIONES DIFERENCIALES

1. Planteamiento del problema
2. Definiciones
3. Ecuaciones diferenciales de primer orden (generalidades)
4. Ecuaciones de variables separadas y separables
5. Ecuaciones homogéneas de primer orden
6. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones homogéneas
7. Ecuaciones lineales de primer orden
8. Ecuación de Bernoulli
9. Ecuaciones en diferenciales totales
10. Factor integrante
11. Envolvente de una familia de curvas
12. Soluciones singulares de las ecuaciones diferenciales de primer orden
13. Ecuación de Clairaut
14. Ecuación de Lagrange
5 15. Trayectorias ortogonales e isogonales
16. Ecuaciones diferenciales de orden superior a uno (generalidades)
17. Ecuación de la forma y (exp n) = f(x)
18. Algunos tipos de ecuaciones diferenciales de segundo orden que se reducen a ecuaciones de primer orden
19. Método gráfico de integración de las ecuaciones diferenciales de segundo orden
20. Ecuaciones lineales homogéneas. Definiciones y propiedades generales
21. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
22. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de n-simo orden con coeficientes constantes
23. Ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden
24. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
25. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de orden n
26. Ecuación diferencial de las oscilaciones mecánicas
27. Oscilaciones libres
28. Oscilaciones forzadas
29. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
30. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
31. Nociones sobre la teoría de la estabilidad de Liapunov
32. Solución aproximada de las ecuaciones diferenciales de primer orden por el método de Euler
33. Solución aproximada de las ecuaciones diferenciales por el método de las diferencias, basado en el empleo de la fórmula de Tavlor. Método de Adams
34. Método aproximado de integración de los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden

Capítulo XIV. INTEGRALES MÚLTIPLES

1. Integral doble
2. Calculo de la integral doble
3. Cálculo de la integral doble (continuación)
4. Cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales dobles
5. Integrales dobles en coordenadas polares
6. Cambio de variables en una integral doble (caso general)
7. Cálculo de áreas de superficies
8. Densidad de distribución de la materia e integral doble
9. Momento de inercia de una figura plana
10. Coordenadas del centro de gravedad de una figura plana
11. Integral triple
12. Cálculo de integrales triples
13. Cambio de variables en una integral triple
14. Momento de inercia y coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo
15. Cálculo de las integrales dependientes de un parámetro

Capítulo XV. INTEGRALES CURVILÍNEAS E INTEGRALES DE SUPERFICIE

1. Integral curvilínea
2. Cálculo de la int
egral curvilínea
3. Fórmula de Green
4. Condiciones para que una integral curvilínea no dependa del camino de integración
5. Integral de superficie
6. Cálculo de la integral de superficie
7. Fórmula de Stokes
8. Fórmula de Ostrogradski
9. Operador de Hamilton y algunas de sus aplicaciones

Capítulo XVI. SERIES

1. Serie. Suma de una serie
2. Condición necesaria de convergencia de una serie
3. Comparación de series de términos positivos
4. Criterio de d’Alembert
5. Criterio de Cauchy
6. Criterio integral de convergencia
7. Series alternadas. Teorema de Leibniz
8. Series de términos positivos y negativos. Convergencia absoluta y condicional
9. Series de funciones
10. Series mayorables
11. Continuidad de la suma de una serie
12. Integración y derivación de las series
13. Series de potencias. Intervalo de convergencia
14. Derivación de las series de potencias
15. Series de potencias de x — a
16. Series de Taylor y de Maclaurin
17. Ejemplos de desarrollo de funciones en series
18. Fórmula de Euler
19. Serie binomial
20. Desarrollo de la función ln (1 + x) en serie de potencias. Cálculo de logaritmos
21. Aplicación de las series al cálculo de integrales definidas
22. Aplicación de las series a la integración de ecuaciones diferenciales
23. Ecuación de Bessel

Capítulo XVII. SERIES DE FOURIER

1. Definición. Planteamiento del problema
2. Ejemplos de desarrollo de funciones en serie de Fourier
3. Una observación sobre el desarrollo de funciones periódicas en serie de Fourier
4. Series de Fourier de funciones pares e impares
5. Serie de Fourier de funciones de período 2 l
6. Desarrollo de una función no periódica en serie de Fourier
7. Aproximación en media de una función dada mediante polinomios trigonométricos
8. Integral de Dirichlet
9. Convergencia de una serie de Fourier en un punto dado
10. Algunas condiciones suficientes para la convergencia de una serie de Fourier
11. Análisis armónico numérico
12. Integral de Fourier
13. Integral de Fourier en forma compleja

Capítulo XVIII. APLICACIONES FÍSICAS

1. Tipos fundamentales de ecuaciones de la física matemática
2. Ecuación de las oscilaciones de una cuerda
3. Solución de la ecuación de vibraciones de una cuerda por el método de separación de las variables (método de Fourier)
4. Ecuación de difusión del calor de un vástago. Planteamiento del problema con condiciones de contorno
5. Difusión del calor en el espacio
6. Solución del primer problema de contorno para la ecuación de conducción del calor por el método de diferencias finitas
7. Difusión del calor en un vástago ilimitado
8. Problemas que conducen a la búsqueda de las soluciones de la ecuación de Laplace. Planteamiento de los problemas de contorno
9. Ecuación de Laplace en coordenadas cilindricas. Solución del problema de Dirichlet para un anillo circular con valores constantes de la función desconocida en las circunferencias interna y externa
10. Solución del problema de Dirichlet para un círculo
11. Solución del problema de Dirichlet por el método de diferencias finitas

Capítulo XIX. CÁLCULO OPERACIÓN AL Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES

1. Función inicial y su transformación
2. Transformadas de las funciones sigma{sub 0} , sen t, cos t
3. Transformada de la función con escala modificada de la variable independiente
4. Propiedad de linealidad de la transformada
5. Teorema del desplazamiento
6. Transformadas de las funciones e{exp (alfa t)} Sh {alfa t}, Ch exp {alfa t)} cos at
7. Derivación de la transformada
8. Recurrencia entre las derivadas
9. Tabla de transformadas
10. Aplicación de la transformada de Laplace a la resolución de una ecuación diferencial dada
11. Transformadas de fracciones racionales
12. Ejemplos de solución de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales por el método operacional
13. Teorema del plegamiento
14. Ecuaciones diferenciales de las oscilaciones mecánicas y ecuaciones diferenciales de la teoría de circuitos eléctricos
15. Solución de la ecuación diferencial de las oscilaciones
16. Estudio de las oscilaciones libres
17. Estudio de las oscilaciones mecánicas y eléctricas en caso de aplicación de una fuerza exteror periódica
18. Solución de la ecuación de las osiclaciones en el caso de resonancia
19. Teorema del retardo